Ecuaciones de Maxwell

Durante mucho tiempo, la teoría del magnetismo careció de una descripción matemática exacta. No fue hasta 1864 cuando James Clerk Maxwell explicó completamente el fenómeno en un contexto físico. Las cuatro ecuaciones de Maxwell que descubrió siguen siendo la base de la electrodinámica en la actualidad. Estas describen básicamente la magnitud de los campos magnéticos y eléctricos y, por tanto, de las correspondientes fuerzas cuando existen determinadas distribuciones de carga o corriente. Maxwell reconoció que los fenómenos eléctricos y magnéticos no son independientes entre sí. Así, un campo eléctrico en movimiento también da lugar a campos magnéticos. En la sección «Historia de los imanes» encontrará más información al respecto.

En una onda electromagnética, los campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo se influyen mutuamente. La extensión de las ecuaciones de Maxwell en el vacío a las ecuaciones de Maxwell en la materia también tiene en cuenta los fenómenos de polarización eléctrica y magnetización y, por tanto, también puede describir la propagación de campos eléctricos y magnéticos en la materia.

Notación

Las ecuaciones de Maxwell utilizan un operador diferencial matemático, también conocido como «vector derivada». Su símbolo es un triángulo invertido:

\( \vec{\nabla}=\left(\begin{array}{c} \partial/\partial{x} & & \partial/\partial{y} & & \partial/\partial{z} \end{array}\right) \),

donde \(\partial/\partial{x}\) denota la diferenciación parcial con respecto a la variable x.

Así se describe la proporción de «líneas de campo que emana de un punto», p. ej., el campo eléctrico \(\vec{E}\) con ayuda de la divergencia de un campo (\(\nabla\cdot\vec{E}\)). Por otro lado, son posibles bucles cerrados de líneas de campo, llamados «vórtices», que se caracterizan con la ayuda del rotacional (\(\nabla\times\vec{E}\)).

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Las cuatro ecuaciones de Maxwell independientes del tiempo y sus enunciados

Las ecuaciones de Maxwell independientes del tiempo describen el curso de los campos eléctricos (\(\vec{E}\)) y la densidad de flujo magnético (\(\vec{B}\)) para cargas estáticas ρ y corrientes \(\vec{j}\) en el vacío o como aproximación en el espacio aéreo:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\mu_0\cdot\vec{j}\)
ε₀ denota la constante dieléctrica del vacío y μ₀ la permeabilidad magnética del vacío.

Concretamente, los enunciados de estas ecuaciones se pueden pensar de la siguiente manera:

1) Las líneas de campo emanan de las cargas. Las cargas son, por tanto, las fuentes (cargas positivas) o los sumideros (cargas negativas) del campo eléctrico. Estas fuentes de campo se caracterizan por la divergencia. La intensidad del campo eléctrico causado por una carga es proporcional a la carga.

2) Sin embargo, el campo eléctrico no tiene vórtices en reposo. Los vórtices se calculan utilizando el rotacional descrito anteriormente.

3) La densidad de flujo magnético, por otra parte, no tiene fuentes. No existen «monopolos», es decir, ningún objeto físico del que simplemente emanen líneas de campo magnético.

4) En su lugar, las corrientes provocan vórtices de la densidad de flujo magnético y, por tanto, también del campo magnético. La intensidad del campo magnético es proporcional a la corriente encerrada.

Las cuatro ecuaciones de Maxwell dependientes del tiempo

Las ecuaciones de Maxwell dependientes del tiempo tienen en cuenta, además de los fenómenos mencionados, los campos eléctricos y magnéticos que varían con el tiempo. La variación temporal de un campo se caracteriza por un punto. Este simboliza la derivada con respecto al tiempo. En el campo eléctrico, \(\dot{\vec{E}}=\frac{d}{dt}\vec{E}\) designa el cambio temporal del campo eléctrico. Por tanto, las ecuaciones de Maxwell dependientes del tiempo en el vacío son:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}}+\dot{\vec{B}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\mu_0\cdot\vec{j}+\frac1{c^2}\dot{\vec{E}}\)
Según la ecuación 2), una densidad de flujo magnético variable en el tiempo provoca vórtices adicionales en el campo eléctrico. A su vez, un campo eléctrico variable en el tiempo (ecuación 4) provoca vórtices adicionales en el campo magnético. Con ayuda de las ecuaciones 2) y 4) se puede determinar, p. ej., el comportamiento de las ondas electromagnéticas. La magnitud c es la velocidad de la luz, que está relacionada con las constantes ε₀ y μ₀ de la siguiente manera:

\(\epsilon_0\mu_0=\frac{1}{c^2}\).

La introducción de parámetros específicos de los materiales es necesaria para describir la propagación de los campos eléctricos y magnéticos en la materia. En la materia, los campos eléctricos provocan polarización eléctrica y los campos magnéticos, magnetización. Las ecuaciones de Maxwell dependientes del tiempo en la materia tienen en cuenta esto de la siguiente manera:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0-\nabla\cdot\frac{\vec{P}}{\epsilon_0}\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}}+\dot{\vec{B}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\frac{1}{c^2}\dot{\vec{E}}+\mu_0\dot{\vec{P}}+\mu_0\nabla\times\vec{M}+\mu_0\cdot\vec{j}\)
Según la ecuación 1), las fuentes del campo eléctrico no son solo cargas reales ρ, sino también la polarización \(\vec{P}\). La polarización depende de la dielectricidad específica del material (polarizabilidad).

Los vórtices de la densidad de flujo magnético son causados, según la ecuación 4), por corrientes \(\vec{j}\), campos eléctricos variables en el tiempo (incluidas las polarizaciones) y magnetizaciones \(\vec{M}\). Dado que la magnetización depende de la constante de permeabilidad magnética específica del material μ, \(\vec{M}\) contiene información en la cuarta ecuación de Maxwell que indica cómo magnetizar el material en campos externos e influye en la densidad de flujo magnético.